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用迭加法求空间被平面分割的区域数


平面内的n条直线可将平面分割成多少个部分,一般都采用数学归纳法或采用比较强的技巧如利用横扫直线等.用数学归纳法需事先知道结论,用横扫直线又不易想到.笔者在思考这个问题时发现利用迭加法可以方便将之解出,还可以推广到平面分割空间的问题.为了叙述方便,笔者将各迭加部分写成命题形式,并记:平面内的任两条互不平行,任三条不共点的直线为一般位置直线;空间内任两面互不平行,任三面不共线且交线互不平行的平面称为一般位置平面.规定:Cnm=0(n>m).rn  命题1 平面内n条一般位置的直线将平面分成(C0n+C1n+C2n)个部分.rn  证明 平面内一条直线将平面分成2部分,设n条直线将平面分成an个部分,n-1条直线将平面分成an-1个部分.当添第n条直线时与前n-1条直线都相交,被分割成n条线段(射线),而每一条线段(射线)将所在的区域分成2部分,故增加了n个区域,即rnrnan=an-1+n,rna1=2,rn则rnan=(1)/(2)(n2+n+2)=C0n+C1n+C2n.rnrn  命题2 平面内λ条直线交于一点分割的平面数,比平面内λ条一般位置的直线分割平面数少C2λ-1个.rn  证明 平面内λ条直线交于一点分割平面数为2λ个,而由命题1知λ条一般位置的直线分割平面数为(C0λ+C1λ+C2λ),故减少了(C0λ+C1λ+C2λ)-2λ=(1)/(2)(λ2+λ+2)-2λ=(1)/(2)(λ2-3λ+2)=C2λ-1.rn  命题3 平面内μ条互相平行的直线比平面内μ条一般位置的直线分割平面所在区域的个数减少C2μ个.rn  证明 平面内μ条互相平行的直线将平面分成(μ+1)个部分,由命题1知比μ条一般位置的直线分割平面数少(C0μ+C1μ+C2μ)-(μ+1)=C2μ个.rn  命题4 平面内n条直线有λi(i=1,2,…,k)条直线交于一点,μi(i=1,2,…,m)条直线互相平行(ki=1λi+ni=1μi≤n),可将平面分成(C0n+C1n+C2n-ki=1C2λi-1-miC2μi)个部分.rn  证明 λi(i=1,2,…,k)条直线交于一点,只对这λi条直线分割平面数产生影响,而与其它直线作组合分割平面时与一般位置的直线相同.μi(i=1,2,…,n)条直线互相平行也是如此.故分割平面数为(C0n+C1n+C2n-ki=1C2λi-1-ni=1C2μi).rn  将命题推广,求解空间n个平面能将空间分成多少个部分?rn  命题5 n个一般位置的平面能将空间分割成(C0n+C1n+C2n+C3n)个部分.rn  证明 一个平面将空间分成两个部分.设n个一般位置的平面将空间分成an个部分.(n-1)个一般位置的平面将空间分成an-1个部分,再添加第n个平面αn与前n-1个平面均相交,交线为平面αn内(n-1)条一般位置的直线.故由命题1知,这(n-1)条一般位置的直线将平面αn分成(C0n-1+C1n-1+C2n-1)个部分而αn被分割的每一部分将所在的空间分成两部分,故增加了(C0n-1+C1n-1+C2n-1)个区域.所以有an=an-1+C0n-1+C1n-1+C2n-1,a1=2,得an=C0n+C1n+C2n+C3n.rn  命题6 λ个平面交于一线分割平面数比λ个一般平面分割平面数少(C2λ-1+C3λ)个.rn  证明 λ个平面交于一线分割平面数为2λ,比λ个一般平面分割空间数少(C0λ+C1λ+C2λ+C3λ)-2λ=C2λ-1+C3λ.rn  命题7 μ个平面互相平行分割平面数比μ个一般平面分割空间数少(C2μ+C3μ)个.rn  证明 μ个平面互相平行将空间分割成(μ+1)个部分.故比μ个一般平面分割空间数少(C0μ+C1μ+C2μ+C3μ)-(μ+1)=C2μ+C3μ.rn  命题8 γ个平面相交且互相平行分割空间数比γ个一般位置的平面分割空间数少C3γ个.rn  证明 作平面α与互相平行交线相交,则平面α与γ个平面的交线分割平面α的区域数即为γ个平面分割空间的区域数.而平面α与γ个平面的交线为γ条一般位置直线,由命题1知分割平面α为(C0γ+C1γ+C2γ)个部分.故分割空间数为(C0γ+C1γ+C2γ)个,比γ个一般平面分割空间数少C3γ个.rn  命题9 n个平面中共有λi(i=1,2,…,k)个平面相交于一条直线,μi(i=1,2,…,m)个平面互相平行,γi(i=1,2,…,l)个平面相交且交线互相平行,则分割空间数为C0n+C1n+C2n+C3n-ki=1(C2λi-1+C3λi)-ni=1(C2μi+C3μi)-li=1C3γi.rn  证明 λi(i=1,2,…,k)个平面相交一线,仅对这λi个平面分割空间时产生影响,而与其他平面作组合时分割空间与一般位置平面相同,所以由命题6知比看成一般位置的平面分割空间数减少ki=1(C2λi-1+C3λi)个,同理μi(i=1,2,…,n)个互相平行的平面将减少分割数ni=1(C2μi+C3μi),γi(i=1,2,…,l)个交线互相平行的平面将减少分割数为li=1C3γi,所以这n个平面分割空间数等于n个一般位置的平面分割空间数减去以上3种减少数即可.rn  故所求的分割数为C0n+C1n+C2n+C3n-ki=1(C2λi-1+C3λi)-ni=1(C2μi+C3μi)-li=1C3γi.......

【作者名称】: 沈虎跃
【作者单位】: 浙江镇海中学 315200
【关 键 词】: 迭加法, 平面分割, 区域数, 初等数学, 立体几何问题, 证明方法
【期刊名称】: 中学教研:数学版
【期刊论文数据库】: [DBS_Articles_01]
【期刊论文编号】: 105,648,727
【摘要长度】: 2,249
【上篇论文】: 中文期刊 - 齐墩果酸通过PPARγ调控人脐静脉内皮细胞抗氧化损伤作用 Oleanolic acid inhibits oxidative damage of HUVECs via PPARγ
【下篇论文】: 中文期刊 - Effect of unsaturated hydroxyl-fatty acid modified nano-CaC03 on the morphological and rheological behavior of PP

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